サイト上の層の圏と前層の圏の局所化：分数計算を用いた圏同値の構成と証明

普遍性の証明.
構成した $\mathcal{C}[W^{-1}]$ と関手 $Q$ が普遍性を満たすことを証明する。 関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が任意の $w \in W$ を同型射に送ると仮定する。関手 $\bar{F}: \mathcal{C}[W^{-1}] \to \mathcal{D}$ を一意に構成する。

対象に対する作用: $\bar{F}(X) = F(X)$ と定義する。
射に対する作用: $\mathcal{C}[W^{-1}]$ の射はジグザグのパスの同値類である。パスが $f_1, w_1^{-1}, f_2, \dots$ で構成されている場合、 $$ \bar{F}([f_1, w_1^{-1}, f_2, \dots]) = \dots \circ F(f_2) \circ F(w_1)^{-1} \circ F(f_1) $$ と定義する。仮定より $F(w)$ は $\mathcal{D}$ において同型射であるため、逆射 $F(w)^{-1}$ が実在し、この合成は $\mathcal{D}$ において意味を持つ。

well-defined性の確認: この定義がパスの代表元の取り方によらないことを示す。同値関係の生成元について $\bar{F}$ の値が変わらないことを確認すればよい。

1. 恒等射の挿入・削除: $F(\mathrm{id}) = \mathrm{id}_{\mathcal{D}}$ であるため、合成の結果に影響を与えない。
2. 連続する射の合成: $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ であるため値は不変である。逆方向の射の合成 $(v \circ w)^{-1}$ に対しては、$F(v \circ w)^{-1} = (F(v) \circ F(w))^{-1} = F(w)^{-1} \circ F(v)^{-1}$ であり、これも不変である。
3. 相殺: $F(w) \circ F(w)^{-1} = \mathrm{id}$ および $F(w)^{-1} \circ F(w) = \mathrm{id}$ は $\mathcal{D}$ における同型射の定義そのものであるため、合成に影響を与えない。

したがって、$\bar{F}$ はパスの同値類に対して well-defined な関手である。

一意性: 構成から明らかに $F = \bar{F} \circ Q$ である。また、$\mathcal{C}[W^{-1}]$ の任意の射は $Q(f)$ と $Q(w)^{-1}$ の有限回の合成で書けるため、任意の関手 $G$ が $F = G \circ Q$ を満たすならば、各パス上の値は一意に決定される。これにより普遍性が完全に証明された。

定理 3.1 の証明.
包含関手を $i: \mathrm{Sh}(\mathcal{C}) \hookrightarrow \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ とし、層化関手を $a: \mathrm{PSh}(\mathcal{C}) \to \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ とする。随伴 (adjunction) $a \dashv i$ が存在し、単位元 (unit) を $\eta: \mathrm{Id}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})} \to i \circ a$、余単位元 (counit) を $\epsilon: a \circ i \to \mathrm{Id}_{\mathrm{Sh}(\mathcal{C})}$ とする。

Step 1: 互いに逆となる関手の構成
層化関手 $a$ は、局所同型のクラス $W$ に属するすべての射を $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ における同型射に写す。したがって、局所化の普遍性（定義1.1）により、関手 $$ \bar{a}: \mathrm{PSh}(\mathcal{C})[W^{-1}] \to \mathrm{Sh}(\mathcal{C}) $$ が一意に誘導され、$a = \bar{a} \circ Q$ を満たす。
逆向きの関手は、単に包含関手 $i$ と局所化関手 $Q$ の合成として定義する。 $$ \bar{i} = Q \circ i: \mathrm{Sh}(\mathcal{C}) \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})[W^{-1}] $$
Step 2: $\bar{a} \circ \bar{i} \simeq \mathrm{Id}_{\mathrm{Sh}(\mathcal{C})}$ の証明
定義より、$\bar{a} \circ \bar{i} = \bar{a} \circ (Q \circ i) = (\bar{a} \circ Q) \circ i = a \circ i$ である。 層の圏 $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ は前層の圏 $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ の反射的充満部分圏 (reflective full subcategory) であるため、包含関手 $i$ は充満忠実 (fully faithful) である。随伴関手の一般論から、右随伴 $i$ が充満忠実であることと、余単位元 $\epsilon_F: a(i(F)) \to F$ がすべての層 $F \in \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ に対して同型射であることは同値である。 したがって、$\epsilon$ は自然同型 $\epsilon: \bar{a} \circ \bar{i} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Id}_{\mathrm{Sh}(\mathcal{C})}$ を与える。

Step 3: $\bar{i} \circ \bar{a} \simeq \mathrm{Id}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})[W^{-1}]}$ の証明
$\mathrm{PSh}(\mathcal{C})[W^{-1}]$ における任意の対象は $Q(X)$ ($X \in \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$) の形をしている。前層の圏における随伴 $a \dashv i$ に付随する単位元 $$ \eta_X: X \to i(a(X)) $$ を考える。これに層化関手 $a$ を施すと、$a(\eta_X): a(X) \to a(i(a(X)))$ となる。随伴の三角恒等式 (triangle identity) により、以下の合成は $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ における恒等射 $\mathrm{id}_{a(X)}$ に等しい。 $$ a(X) \xrightarrow{a(\eta_X)} a(i(a(X))) \xrightarrow{\epsilon_{a(X)}} a(X) $$ Step 2 で確認したように $\epsilon_{a(X)}$ は同型射であるため、この合成が恒等射であることから、$a(\eta_X)$ も同型射でなければならない。 $a(\eta_X)$ が同型射であるということは、定義により $\eta_X$ 自身が局所同型であること、すなわち $\eta_X \in W$ であることを意味する。
局所化関手 $Q$ は $W$ の元を同型射に送るため、$Q(\eta_X)$ は $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})[W^{-1}]$ における同型射となる。 ここで、$\bar{i}(\bar{a}(Q(X))) = Q(i(a(X)))$ であるため、$Q(\eta_X)$ は $Q(X)$ から $\bar{i}(\bar{a}(Q(X)))$ への射を与えている。 $\eta$ の自然性から、これは対象 $Q(X)$ について自然な同型を与える。ゆえに、自然同型 $$ Q(\eta): \mathrm{Id}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})[W^{-1}]} \xrightarrow{\sim} \bar{i} \circ \bar{a} $$ が成立する。

以上の構成と証明により、前層の圏において局所同型をすべて「強制的に同型射にする」という局所化を行うと、層の圏に帰着することが完全に証明された。

定理 5.1 の証明.
層化関手 $a: \mathrm{PSh}(\mathcal{C}) \to \mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ を用いると、$W$ は「$a$ によって同型射に送られる射の集合」と特徴づけられる。また、層化関手 $a$ は有限極限 (finite limits) を保存する（完全関手である）という極めて重要な性質を持つ。これを用いて各条件を証明する。

1. 閉包性: 関手 $a$ は恒等射を恒等射（同型射）に送り、同型射の合成は同型射であるため、$W$ は恒等射を含み合成について閉じている。

2. 右Ore条件の証明: 前層の射 $f: F \to H$ と $w: G \to H$ (ただし $w \in W$) を考える。前層の圏 $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ は引き戻し (pullback) を持つため、引き戻し $F \times_H G$ を構成し、射影を $v: F \times_H G \to F$ および $g: F \times_H G \to G$ とする。引き戻しの普遍性により $f \circ v = w \circ g$ は可換図式をなす。 ここで、$v$ が $W$ に属することを示せばよい。層化関手 $a$ は有限極限を保存するため、引き戻しを引き戻しに写す。すなわち、 $$ a(F \times_H G) \simeq a(F) \times_{a(H)} a(G) $$ が成り立つ。仮定より $a(w): a(G) \to a(H)$ は $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ における同型射である。任意の圏において、同型射の引き戻しは同型射であるため、射影 $a(v): a(F \times_H G) \to a(F)$ も同型射となる。これはすなわち $v \in W$ を意味する。よって右Ore条件が示された。

3. 右相殺条件の証明: 前層の射 $f, g: F \to G$ と、$w: G \to H \in W$ があり、$w \circ f = w \circ g$ を満たすとする。 前層の圏において $f$ と $g$ の等化子 (equalizer) $E \xrightarrow{v} F$ をとる。層化関手 $a$ は等化子を保存するため、$a(E) \xrightarrow{a(v)} a(F)$ は $\mathrm{Sh}(\mathcal{C})$ における $a(f)$ と $a(g)$ の等化子である。 しかし、$a(w) \circ a(f) = a(w) \circ a(g)$ であり、かつ $a(w)$ は同型射（したがってモノ射）であるため、直ちに $a(f) = a(g)$ が従う。 2つの等しい射 $a(f)$ と $a(g)$ の等化子は定義域 $a(F)$ 自身（すなわち恒等射）と同型になる。したがって、$a(v)$ は同型射であり、定義より $v \in W$ である。等化子の性質から $f \circ v = g \circ v$ であり、右相殺条件が完全に示された。